예제를 통한 연산에 대하여 닫혀있다..

Q) 다음 집합은 사칙연산 중 어느 연산에 대하여 닫혀 있는지를 구하여라.
a={x│x = 2n+1,n은 정수}

A)우선 닫혀있다는 의미가 뭔지 다시 한번 살펴봅시다
집합a가 연산에 닫혀있다고 하는 것은
집합의 원소 중 임의로 두개를 꺼내여 연산을 해도 그 값이 다시 집합 a로 들어갈 때
그 집합은 닫혀있다고 하는 거죠...

집합a가 어떤 원소로 구성되어 있는지 살펴 봅시다.
a={...,-5,-3,-1,1,3,5,...}와 같이 홀수들의 모임이네요
그럼 봅시다.. 연산에는 보통 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈이 있죠..
(1) 덧셈을 대하여 살펴 보도록 합시다..
a의 원소중 1과 3을 뽑아 더하면 4가되죠.. 4는 짝수이므로 홀수의 원소들의 모임인 a에 포함이 안되므로 집합a는 덧셈에 대하여 닫혀있지 않습니다.
(이와 같이, 닫혀있지 않음을 보일때는 반례인 특정한 두 수를 꺼내어 보여줘서 안되니 이 집합은 닫혀있지 않다고 보여줘야 해요)
(2) 뺄셈에 대하여 살펴 보도록 합시다.
1-1=0 이니 닫혀있지 않죠...임의의 원소 두개를 꺼내어 뺄셈하니 짝수나오니 짝수는 a에 포함안되는 뺄셈에 대하여도 닫혀있지 않네요.
(3) 곱셈에 대하여 살펴보면..
임의의 원소를 꺼내어 곱하면 즉, 홀수와 홀수의 곱은 항상 홀수니까 a는 곱셈에 대하여 닫혀있네요.
(닫혀 있음을 보일때는 위 처럼 특정수를 뽑아 연산해서 된다고 하면 안되겠죠? 우리가 아는 일정한 공식이나 당여한 것으로 받아들여 지는 것을 통하여 보여줘야 해요..이게 좀 어려운거죠?
홀수*홀수는 홀수니까 홀수에 대하여 닫혀있다라고 말하는데 이게 당연한거인지 이해가 안간다면 증명을 보여줘야해요... 만약 증명한다면..
임의의 홀수 2k+1과 2m+1의 곱은 2(2km+k+m)+1이되어 항상 홀수가 되죠.  따라서 홀수와 홀수의 곱은 홀수이므로 닫혀있다. 이처럼..닫혀있다를 보여줄때는 항상 임의의 수를 나타내는 미지수 k,m과 같은 수로 표현하여 성립함을 보여야 합니다..이게 더 어렵죠?^^ 반례찾아 닫혀있지 않음을 찾는게 쉽죠...ㅎㅎ)

(4) 나눗셈에 대하여 살펴보면..
1을 3으로 나누면 1/3이되어 홀수가 안되니 집합a는 나눗셈에 대하여 닫혀있지 않네요.

따라서 집합a는 사칙연산 들 중 곱셈에 대하여서면 닫혀있네요.
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이처럼.. 연산이 닫혀있다는 것을 알려면 임의의 원소를 꺼내 연산을 하였을 때, 그 연산결과가 다시 그 집합안으로 항상 들어갈 때, 그연산에 대하여 닫혀있다고 해요..
민기의 질문처럼 홀수들으 집합인 a가 닫혀있다고 할 때는 어떤 연산에 대하여 닫혀있다고 하는지 써줘야 하는데 그말을 안쓴거 보면 닫혀있다는 의미를 다시 한번 생각해 봐야할 필요가 있구요..
그리고 홀수의 집합(2n+1,n:정수)이니 곱셈에 대하여 닫혀 있고
만약 짝수들의 집합(2n,n:정수)라면 닫혀있는 연산이 틀려지겠죠?
그럼 이해도 평가 차원에서 문제하나..
짝수들의 집합 b={x:x=2n,n은 정수} 라고 한다면 집합b는 어떤 연산에 닫혀있을까요?

정리 자연수, 정수, 유리수, 무리수, 실수의 사칙연산에 닫혀있음을 살펴 보면..

	덧셈	뺄셈	곱셈	나눗셈
자연수	닫혀있다	반례(1-2는 음수)	닫혀있다	반례(1/2)
정수	닫혀있다	닫혀있다	닫혀있다	반례(1/2)
유리수	닫혀있다	닫혀있다	닫혀있다	닫혀있다
무리수	반례 (-루트2) +루트2 = 0	반례 루트2 -루트2=0	반례 루트2 *루트2=2	반례 루트2 /루트2 =0
실수	닫혀있다	닫혀있다	닫혀있다	닫혀있다